Οι δραστηριότητες που αναφέρονται στην τριγωνομετρία στηρίζονται στις δυνατότητες του λογισμικού να δημιουργεί δυναμικές αναπαραστάσεις φαινομένων και συναρτήσεων που προκύπτουν από τα φαινόμενα.
Οι συναρτήσεις αυτές διδάσκονται στο σχολικό περιβάλλον με τα διαθέσιμα στατικά μέσα της εικόνας του βιβλίου και του πίνακα. Η δυναμική αναπαράσταση των συναρτήσεων αυτών, δηλαδή η δυνατότητα να μετασχηματίζεται η γραφική παράσταση καθώς αλλάζουν οι παράμετροι, δίνει την ευκαιρία για καλύτερη μελέτη και διερεύνηση άρα και κατανόηση.
Στην πρώτη δραστηριότητα οι μαθητές θα παρατηρήσουν μία κυκλική κίνηση σημείου η οποία παράγει γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Εδώ το σημείο που κινείται σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο αποτελεί παράδειγμα περιοδικού φαινομένου οπότε οι γραφικές παραστάσεις προκύπτουν ως μοντέλα περιγραφής του φαινομένου αυτού.
Στην δεύτερη δραστηριότητα οι μαθητές έχουν την δυνατότητα να μελετήσουν τους μετασχηματισμούς των γραφικών παραστάσεων παραμετρικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επιπλέον θα έχουν την ευκαιρία να κατανοήσουν την σημασία της γραφικής επίλυσης μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης.
Στην τρίτη δραστηριότητα οι μαθητές θα προσεγγίσουν τον νόμο των ημιτόνων μέσα από μία συσχέτιση εγγεγραμμένης γωνίας ω και της αντίστοιχης χορδής δ. Η προσέγγιση αυτή είναι καθαρά συναρτησιακή αφού δ=2ρ·ημω με σταθερό ρ.
Τα πολυώνυμα αποτελούν αυτόνομα μαθηματικά αντικείμενα η μελέτη των οποίων μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσα σε διαφορετικά μαθηματικά πλαίσια.
Με το σενάριο των πολυωνύμων οι μαθητές θα υλοποιήσουν δραστηριότητες στις οποίες αυτά προσεγγίζονται ως συναρτήσεις των οποίων οι γραφικές παραστάσεις αναδεικνύουν χαρακτηριστικές τους ιδιότητες. Επιπλέον μία δυναμική γραφική παράσταση δίνει την δυνατότητα στον μαθητή να λύσει και διερευνήσει προβλήματα που είναι αδύνατον να αντιμετωπιστούν με τα συμβατικά μέσα που διαθέτει (χαρτί και μολύβι).
Στην πρώτη δραστηριότητα οι μαθητές θα διερευνήσουν την συμπεριφορά ενός παραμετρικού πολυωνύμου και θα επιχειρήσουν να λύσουν γραφικά μία πολυωνυμική εξίσωση με ρίζες άρρητες.
Στην δεύτερη δραστηριότητα θα μελετήσουν την μορφή της γραφικής παράστασης ενός πολυωνύμου σε σχέση με το πλήθος και το είδος των ριζών ενώ θα κατασκευάσουν πολυώνυμα με δοσμένες ρίζες.
Στην τρίτη δραστηριότητα οι μαθητές θα διερευνήσουν άρρητες συναρτήσεις ενώ θα μάθουν την έννοια των ισοδυνάμων εξισώσεων.
Οι δραστηριότητες που αναφέρονται στις προόδους επιτρέπουν μία οπτικοποίηση της έννοιας της ακολουθίας. Ιδιαίτερα η αριθμητική πρόοδος θα μπορούσε να παρασταθεί γεωμετρικά μέσα από μία σειρά ευθυγράμμων τμημάτων των οποίων το ύψος συνεχώς αυξάνεται ή ελαττώνεται.
Το σενάριο αποτελείται από δύο δραστηριότητες. Η πρώτη δραστηριότητα αφορά στην διερεύνηση δύο αριθμητικών προόδων, μιας αύξουσας και μιας φθίνουσας των οποίων οι τιμές είναι συμπληρωματικές, δηλαδή έχουν σταθερό άθροισμα για ορισμένο πλήθος όρων. Η ιδιότητα αυτή θα επιτρέψει στους μαθητές να κατανοήσουν την μέθοδο αντιστροφής της σειράς των όρων μιας αριθμητικής προόδου με στόχο να υπολογιστεί το άθροισμα ορισμένου πλήθους όρων της προόδου.
Στην δεύτερη δραστηριότητα οι μαθητές θα μελετήσουν μία ακολουθία η οποία δεν παραπέμπει άμεσα σε κάποια από τις γνωστές προόδους.
Τέλος στην τρίτη δραστηριότητα οι μαθητές θα μελετήσουν μία οπτικοποίηση της γεωμετρικής προόδου που θα αποτελέσει γέφυρα για την έννοια της εκθετικής συνάρτησης.
Οι δραστηριότητες του σεναρίου της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης αρθρώνονται γύρω από τις δυνατότητες που μας παρέχει το λογισμικό να οπτικοποιήσουμε και να διερευνήσουμε με δυναμικό τρόπο αλγεβρικές σχέσεις.
Οι πέντε δραστηριότητες οδηγούν σταδιακά τον μαθητή από την γεωμετρική πρόοδο στην λογαριθμική συνάρτηση και κλιμακώνονται σε επίπεδα δυσκολίας.
Η πρώτη δραστηριότητα έχει στόχο να αποτελέσει μία εισαγωγή στην εκθετική συνάρτηση μέσω μίας πύκνωσης των όρων της διακριτής γεωμετρικής προόδου.
Η δραστηριότητα ξεκινά με την κατασκευή τμημάτων μήκους ΜΝ=αν. Όταν το ν παίρνει ακέραιες τιμές τότε έχουμε μία γεωμετρική πρόοδο με λ= α. όταν το ν παίρνει τιμές ανά 0,5 τότε προκύπτει άλλη γεωμετρική πρόοδος
Στην δεύτερη δραστηριότητα οι μαθητές θα μελετήσουν τον τρόπο που μεταβάλλεται η μορφή της γραφικής παράστασης της εκθετικής συνάρτησης f(x)=αx καθώς μεταβάλλεται το α.
Επιπλέον θα μελετήσουν τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων που προκύπτουν από την βασική εκθετική f(x)=αx όταν μεταβάλουμε το πρόσημο του x ή της ίδιας της συνάρτησης. Δηλαδή θα μελετήσουν τις συναρτήσεις g(x)=α-x και h(x)=-αx.
Τέλος θα λύσουν γραφικά εκθετικές εξισώσεις οι οποίες δεν θα μπορούσαν να λυθούν με αλγεβρική διαδικασία.
Στην τρίτη δραστηριότητα οι μαθητές θα μελετήσουν την σχέση της λογαριθμικής συνάρτησης με την εκθετική. Ακόμη θα μελετήσουν την μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης και θα την συνδέσουν με τις τιμές του α.
Στην τέταρτη δραστηριότητα οι μαθητές θα μελετήσουν την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=logα(x) για τις διάφορες τιμές της βάσης α. Επειδή το λογισμικό κατασκευάζει μόνο την συνάρτηση lnx (πληκτρολόγηση logx) θα πρέπει να γίνει χρήση του τύπου της αλλαγής βάσης ώστε η f(x)=logα(x) να μετασχηματιστεί σε
Όταν οι μαθητές μελετήσουν τις βασικές ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης τότε θα μπορούσαν να επιχειρήσουν μία γραφική απόδειξη της σχέσης log(α·β)=logα+logβ.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα και το θεώρημα του Θαλή αποτελούν τα δύο θεωρήματα με τα οποία δομείται ο Ευκλείδειος χώρος. Το Πυθαγόρειο θεώρημα όμως κατέχει ένα απλησίαστο ρεκόρ, διαθέτει περί τις 400 διαφορετικές αποδείξεις από τις οποίες η πρώτη ανήκει στον Πυθαγόρα. Οι αποδείξεις αυτές αποτελούν μία πρώτης τάξεως ευκαιρία να γνωρίσουν οι μαθητές την ιστορική διαδρομή του θεωρήματος και την πληθώρα των προσεγγίσεων που χρησιμοποίησαν κατά καιρούς όσοι ασχολήθηκαν με το θέμα. Η χρήση ενός δυναμικού λογισμικού δίνει την δυνατότητα στον διδάσκοντα να δημιουργήσει ένα διερευνητικό περιβάλλον μέσα στο οποίο ο μαθητής θα ανακαλύψει αναλλοίωτες σχέσεις μεταξύ γεωμετρικών μεγεθών και θα οδηγηθεί σταδιακά στην απόδειξη του θεωρήματος. Η Πυθαγόρεια απόδειξη και αυτή που αποδίδεται στους Κινέζους αποτελούν δύο χαρακτηριστικές και πολιτισμικά σημαντικές αποδείξεις. Επιπλέον η επέκταση του Πυθαγορείου στα όμοια σχήματα είναι μία δυνατότητα την οποία η χρήση του λογισμικού την καθιστά διδακτικά υλοποιήσιμη μέσα στα πλαίσια των χρονικών περιορισμών του σχολικού προγράμματος.
Οι δραστηριότητες που αφορούν στα εμβαδά έχουν στόχο την υποστήριξη της διδασκαλίας των εμβαδών σε δύο επίπεδα. Σε πρώτο επίπεδο ο στόχος είναι η κατανόηση βασικών θεμάτων που αφορούν στην θεωρία και σε ασκήσεις του σχολικού βιβλίου ενώ σε δεύτερο επίπεδο ο στόχος αφορά στην επέκταση και διερεύνηση των θεμάτων, πέρα από τα σχολικά πλαίσια.
Με την πρώτη δραστηριότητα οι μαθητές θα λύσουν και στην συνεχεία θα διερευνήσουν μία άσκηση του σχολικού βιβλίου. Η άσκηση αναφέρεται στον εμβαδόν τριγώνων με κοινή κορυφή σε μία πλευρά παραλληλογράμμου και βάση στην απέναντι πλευρά του.
Στην δεύτερη δραστηριότητα οι μαθητές με την βοήθεια του λογισμικού θα εντοπίσουν την σχέση που συνδέει την γωνία τριγώνου με το εμβαδόν του και στην συνέχεια θα την αποδείξουν.
Στην τρίτη δραστηριότητα οι μαθητές θα λύσουν και διερευνήσουν ένα θέμα που αφορά σε τρίγωνα με κοινή γωνία.
Στην τέταρτη δραστηριότητα οι μαθητές θα εντοπίσουν την σχέση που συνδέει τα εμβαδά δύο ομοίων πολυγώνων. Η σύνδεση αυτή θα γίνει μέσα από την μελέτη κατάλληλης γραφικής παράστασης
Τα κανονικά πολύγωνα αποτελούν την γέφυρα η οποία θα οδηγήσει από τα ευθύγραμμα σχήματα στον κύκλο.
Η σχέση μεταξύ του μήκους ενός τόξου και του μήκους της αντίστοιχης χορδής δεν είναι γραμμική ενώ η προσέγγιση του κύκλου μπορεί να γίνει μέσα από εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα.
Οι δραστηριότητες των κανονικών πολυγώνων μπορούν να υποστηρίξουν την διδασκαλία του σχετικού κεφαλαίου, συγχρόνως όμως δίνουν την δυνατότητα στον διδάσκοντα να τις μετασχηματίσει ή να τις συμπληρώσει.
Επιπλέον επιτρέπουν στον μαθητή να διερευνήσει σχέσεις μεταξύ μεγεθών σε έναν κύκλο, οι οποίες επεκτείνουν τις γνώσεις του και πέρα από την προβλεπόμενη ύλη.
Το σενάριο αποτελείται από δύο δραστηριότητες. Η πρώτη δραστηριότητα αφορά στην διερεύνηση των σχέσεων μεταξύ του μήκους ενός τόξου και της αντίστοιχης χορδής.
Η διερεύνηση θα μπορούσε να αρχίσει με την αναζήτηση σχέσης μεταξύ τόξου και επίκεντρης γωνίας όταν αυτή μετράται σε ακτίνια. Αυτό είναι εφικτό αν ο μαθητής ορίσει ένα σημείο Μ=(ω, c) και μελετήσει το ίχνος του όταν μεταβάλλεται η γωνία ω.
Επιπλέον θα μπορούσε να γίνει μελέτη της σχέσης μεταξύ της γωνίας ω και της χορδής λ.
Στην δεύτερη δραστηριότητα οι μαθητές θα διερευνήσουν τις προϋποθέσεις κατασκευής ενός εγγεγραμμένου σε κύκλο κανονικού πολυγώνου. Ακόμη θα προσεγγίσουν την περίμετρο του κύκλου με την μέθοδο που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης, δηλαδή με την περίμετρο τόσο του εγγεγραμμένου όσο και του περιγεγραμμένου κανονικού πολυγώνου.
Στην τρίτη δραστηριότητα οι μαθητές θα ερευνήσουν τις προϋποθέσεις κατασκευής διακοσμητικών μοτίβων με κανονικά πολύγωνα (tessellations). Συγκεκριμένα θα διερευνήσουν, με βάση τα εργαλεία που τους παρέχει το λογισμικό, ποια κανονικά πολύγωνα μπορεί να χρησιμοποιηθούν αυτούσια για να καλύψουν μία επίπεδη επιφάνεια.
Οι δραστηριότητες του σεναρίου των διανυσμάτων μπορούν να υποστηρίξουν την διδασκαλία του σχετικού κεφαλαίου, συγχρόνως όμως δίνουν την δυνατότητα στον διδάσκοντα να τις μετασχηματίσει ή να τις συμπληρώσει ώστε να επεκτείνει το μαθηματικό τους περιεχόμενο.
Το σενάριο αποτελείται από 3 δραστηριότητες διαφορετικού ύφους και στοχοθεσίας όμως όλες μαζί διαγράφουν μία πορεία από τις απλές κατασκευές μέχρι και την διερεύνηση παραμετρικών περιπτώσεων. Οι δραστηριότητες θα μπορούσαν να κλιμακωθούν από πολύ απλές, με στόχο την κατανόηση της προβλεπόμενης θεωρίας, έως και εντελώς διερευνητικές και σύνθετες, με στόχο την επέκταση των γνώσεων των μαθητών.
Η πρώτη δραστηριότητα αφορά σε μία σειρά από απλές κατασκευές που θα μπορούσαν να αναδείξουν με δυναμικό τρόπο την σχέση των συντεταγμένων των παραλλήλων και των καθέτων διανυσμάτων. Ακόμη αναδεικνύει την σχέση που συνδέει τις συντεταγμένες δύο διανυσμάτων τόσο με το άθροισμα όσο και με την διαφορά τους.
Στην δεύτερη δραστηριότητα οι μαθητές θα επινοήσουν έναν τρόπο να υπολογίζουν την γωνία δύο ευθειών με την βοήθεια του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων παραλλήλων προς τις δύο ευθείες. Το λογισμικό δίνει την δυνατότητα του υπολογισμού της γωνίας όταν είναι γνωστός ένας τριγωνομετρικός αριθμός, όπως για παράδειγμα το συνημίτονο στην περίπτωση του εσωτερικού γινομένου.
Στην τρίτη δραστηριότητα οι μαθητές θα ερευνήσουν τον γεωμετρικο τόπο του άκρου ενός διανύσματος. Το διάνυσμα αυτό είναι το άθροισμα ενός σταθερού και ενός μεταβαλλόμενου. Το λογισμικό θα τους επιτρέψει τον εντοπισμό του πιθανού γεωμετρικού τόπου και στην συνέχεια θα ακολουθήσει μία αυστηρή μαθηματική απόδειξη με βάση όμως τις ενδείξεις του λογισμικού.
Οι δραστηριότητες του σεναρίου των ευθειών μπορούν να υποστηρίξουν την διδασκαλία του σχετικού κεφαλαίου, συγχρόνως όμως δίνουν την δυνατότητα στον διδάσκοντα να τις μετασχηματίσει ή να τις συμπληρώσει ώστε να επεκτείνει το μαθηματικό τους περιεχόμενο.
Το σενάριο αποτελείται από 4 δραστηριότητες διαφορετικού ύφους και στοχοθεσίας όμως όλες μαζί διαγράφουν μία πορεία από τις απλές κατασκευές μέχρι και την διερεύνηση παραμετρικών περιπτώσεων.
Η πρώτη δραστηριότητα αφορά στην κατασκευή ευθείας παράλληλης ή κάθετης σε διάνυσμα. Το λογισμικό προβάλλει το διάνυσμα και τις εξισώσεις των ευθειών με τρόπο που είναι εμφανής η σχέση των συντεταγμένων του διανύσματος με τους συντελεστές κάθε ευθείας.
Στην δεύτερη δραστηριότητα οι μαθητές θα λύσουν μία άσκηση του σχολικού βιβλίου, που αναφέρεται στο εμβαδόν τριγώνου, με την βοήθεια των μετρήσεων από το λογισμικό. Στην συνέχεια θα επεξεργαστούν το θέμα μέσα σε ένα συναρτησιακό πλαίσιο γραφικής παράστασης.
Στην τρίτη δραστηριότητα οι μαθητές θα ερευνήσουν τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής δύο παραμετρικών ευθειών. Εδώ θα χρησιμοποιήσουν την δυνατότητα να εμφανίζεται το ίχνος ενός κινούμενου σημείου.
Στην τέταρτη δραστηριότητα οι παράμετροι που εισάγονται σε μία εξίσωση ευθείας δεν είναι πλέον απλοί τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί αλλά τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Οι δραστηριότητες του σεναρίου έρχονται να συμπληρώσουν την "πρώτη γνωριμία" με το λογισμικό και τις δυνατότητες που παρέχει στην διερεύνηση θεμάτων που αφορούν στην αναλυτική γεωμετρία.
Το σενάριο αποτελείται από 3 διερευνητικές δραστηριότητες στις οποίες οι μαθητές θα κατασκευάσουν εξ αρχής αρχεία τριών κωνικών: παραβολής, υπερβολής και έλλειψης.
Σε κάθε φύλλο εργασίας θα υπάρχει η διαδικασία κατασκευής, στο πρώτο μέρος, και οι ερωτήσεις διερεύνησης, στο δεύτερο μέρος.
Το βασικό θέμα σε δύο από αυτές είναι η διερεύνηση των ανακλαστικών ιδιοτήτων της παραβολής και της έλλειψης. Το πρόβλημα της ανάκλασης σε μια κωνική τομή αποτελεί μία από τις βασικές αιτίες ανάπτυξης της μελέτης των κωνικών και της χρήσης τους σε πρακτικά ζητήματα.
Στην πρώτη δραστηριότητα οι μαθητές θα μελετήσουν μία δυναμική αναπαράσταση της ανακλαστικής ιδιότητας της παραβολής. Συγκεκριμένα θα φέρουν την κάθετη στην εφαπτομένη σε ένα σημείο και στην συνέχεια θα δημιουργήσουν και θα μελετήσουν μία προσομοίωση ανάκλασης ακτίνας παράλληλης προς τον άξονα της παραβολής.
Στην δεύτερη δραστηριότητα η ανακλαστική ιδιότητα θα μελετηθεί σε μία έλλειψη. Θα ζητηθεί να φέρουν οι μαθητές εφαπτομένη σε ελεύθερο σημείο Α, κάθετη στην εφαπτομένη και να προσδιοριστούν οι εστίες. Στην συνέχεια θα μελετήσουν το εύρος στο οποίο κινείται η τομή της κάθετης με τον χ΄χ. Το εύρος αυτό σχετίζεται, στην έλλειψη, με το ε2. Η μελέτη της σχέσης της τετμημένης του ελεύθερου σημείου Α με την τετμημένη του σημείου τομής δίνει ευθεία με κλίση ε2.
Τέλος στην τρίτη δραστηριότητα οι μαθητές θα εντοπίσουν ένα τρίγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι σταθερό και το οποίο τρίγωνο δημιουργείται από μία εφαπτομένη και τις ασύμπτωτες υπερβολής.