Στην παρακάτω επιφάνεια εργασίας έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=α*exp(β*x+γ*x^ν)+δ (f(x)=αeβx+γxν+δ). Ακόμα έχoυν σχεδιαστεί η παράγωγος αυτής, η εφαπτομένη σε ένα σημείο της A καθώς και ευθεία ΒΓ που διέρχεται από δυο σημεία της. Ερευνήστε για την μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων της και του εκθέτη ν.
Μπορείτε να περιγράψετε τον τρόπο μεταβολής των τιμών της συνάρτησης καθώς κινείτε το σημείο Α και να τον συνδυάσετε με το πρόσημο των τιμών της παραγώγου; Μπορείτε να βρείτε σε ποιο σημείο η συνάρτηση έχει τοπικό ακρότατο; Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματά σας;
Επιλέξτε τη συνάρτηση και με δεξί κλικ "Επαναπροσδιορισμός". Πληκτρολογήστε τον τύπο 0.5*exp(2*x+x^3)+1. Μπορείτε να περιγράψετε τον τρόπο μεταβολής των τιμών της συνάρτησης και να τον συνδυάσετε με το πρόσημο των τιμών της παραγώγου; Μπορείτε να βρείτε σε ποιο σημείο η συνάρτηση έχει τοπικό ακρότατο; Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματά σας; Τι θα αλλάξει στην μονοτονία της συνάρτησης αν μεταβάλλετε τις τιμές της παραμέτρου δ;
Επιλέξτε τη συνάρτηση και με δεξί κλικ "Επαναπροσδιορισμός". Πληκτρολογήστε τον τύπο -0.5*exp(2*x+x^2)+1. Μπορείτε να περιγράψετε την μονοτονία των τιμών της συνάρτησης και να τον συνδυάσετε με το πρόσημο των τιμών της παραγώγου; Σε τι διαφέρει η μονοτονία της συνάρτησης από την μονοτονία της συνάρτησης της πρώτης διερεύνησης που είχε α=0,5;
Μπορείτε να εξηγήσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματά σας;
Επιλέξτε τη συνάρτηση και με δεξί κλικ "Επαναπροσδιορισμός". Πληκτρολογήστε τον τύπο 0.5*exp(2*x+x^2)+1. Μπορείτε να βρείτε δυο θέσεις για τα σημεία Β και Γ ώστε να ισχύει το θεώρημα Rolle; Ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής σε κάθε διάστημα που ορίζουν τα Β και Γ; Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματά σας;