Η ενότητα αυτή περιέχει σενάρια, εργασίες και διερευνήσεις που αφορούν την έννοια της συνάρτησης.
Η έννοια της συνάρτησης και ο τρόπος με τον οποίο την διαχειριζόμαστε είναι από τα σημαντικότερα ζητήματα των σύγχρονων μαθηματικών. Με την βοήθεια της μελετάμε και ερμηνεύουμε φαινόμενα των διαφόρων επιστημών αλλά και της καθημερινότητας. Είναι το κύριο εργαλείο περιγραφής και μελέτης των μεταβολών, όπου και να συμβαίνουν αυτές, αρκεί να μπορούμε να αντλήσουμε δεδομένα από αυτές. Η βαθιά γνώση επομένως της έννοιας της συνάρτησης καθώς και η χρήσης της ως εργαλείο μελέτης και έκφρασης των μεταβολών είναι σημαντικά στοιχεία των σύγχρονων ανθρώπων που θέλουν να καταννούν τον κόσμο και να προσαρμόζονται στις σύγχρονες απαιτήσεις της ζωής τους.
Στα σενάρια που προτείνουμε σ' αυτή την ενότητα αλλά και στις επόμενες, δίνεται η ευκαιρία σε κάθε μαθητή, ακόμα και σ' αυτόν που δεν είναι εξοικειωμένος με την χρήση εκπαιδευτικών λογισμικών των μαθηματικών, να προσεγγίσει την έννοια και τις ιδιότητες της συνάρτησης με ένα ολοκληρωμένο τρόπο.
Μερικά από τα θέματα αυτής της ενότητας αντλούνται απο το σχολικό βιβλίο με αποτέλεσμα να μπορεί κάθε μαθητής να τα προσεγγίσει με ένα εναλλακτικό τρόπο.
Όπως δηλώνεται και στον τίτλο αυτής της ενότητας τα δυο σενάρια που προτείνονται αφορούν στις έννοιες του ορίου, της συνέχειας και σχετικών με αυτές θεωρημάτων.
Με την μελέτη αυτών των ιδιοτήτων οι μαθητές έρχονται σε επαφή με σημαντικές ιδιότητες των συναρτήσεων με ένα διαφορετικό τρόπο από αυτόν που παρουσιάζονται στο σχολικό βιβλίο αλλά και γενικότερα στα σχετικά διδακτικά εγχειρίδια. Με εργαλεία την μεγέθυνση του γραφήματος σε ένα σημείο του αλλά και το ορθογώνιο που ορίζεται από τα δ και ε οι μαθητές μπορούνν να "δουν" πολύ κοντά σε ένα σημείο της καμπύλης. Η διαδικασία αυτή που ζωντανεύει με τα ίδια τα χέρια των μαθητών για αρκετά μικρές τιμές του δ και του ε εύκολα μπορεί να επαναληφθεί νοητικά για όσο μικρές τιμές θέλουν. Και η εξήγηση για το φαινόμενο αυτό δεν είναι τίποτα άλλο από την λεκτική και αλγεβρική διατύπωση της έννοιας του ορίου σε ένα σημείο της καμπύλης.
Η έννοια της συνέχειας και τα θεωρήματα Βolzano και ενδιάμεσων τιμών είναι λογικά επακόλουθα της έννοιας του ορίου. Η διερεύνησή τους θα εμπλουτίσει τους μαθητές με νοητικές εικόνες εργαλεία που θα τους είναι χρήσιμα σε κάθε ανάλογη περίπτωση.
Σ' αυτή την ενότητα οι μαθητές διερευνούν τον ρυθμό μεταβολής της κλίσης της εφαπτομένης καμπύλης σ' ένα σημείο της. Μ' αλλα λόγια μελετούν την έννοια του παράγωγου αριθμού σε ένα σημείο μιας συνάρτησης καθώς και την παράγωγο συνάρτηση που προκύπτει ως συνάρτηση των παραγώγων της σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της.
Ακόμα, μελετούν τον τρόπο σύνδεσης της έννοιας της παραγώγου με τις ιδιότητες της μονοτονίας, των ακροτάτων και της κυρτότητας των συναρτήσεων και χρησιμοποιούν την παράγωγο για να λύσουν προβλήματα μεγίστων - ελαχίστων που μερικά από αυτά περιέχονται στο σχολικό βιβλίο.
Με την ενότητα αυτή συμπληρώνονται οι βασικές έννοιες των συναρτήσεων όπως περιέχονται στο σχολικό βιβλίο.
Οι έννοιες και οι ιδιότητες του ολοκληρωτικού λογισμού διαπραγματεύονται με τρόπους ανάλογους με αυτούς των προηγούμενων ενοτήτων. Οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να διαπραγματευτούν την έννοια του αόριστου ολοκληρώματος σε στενή σχέση με αυτή της παραγώγου και στη συνέχεια αφού διερευνήσουν τον τρόπο υπολογισμού του εμβαδού χωρίων τα οποία ορίζονται με τη βοήθεια συναρτήσεων, συνδέουν με απλό τρόπο τις δυο έννοιες, του αόριστου ολοκληρώματος και του εμβαδού του χωρίου που ορίζεται κάτω από μια συνάρτηση.
Η ενότητα αυτή διαπραγματεύεται τους μιγαδικούς αριθμούς και την αναπαράστασή τους στο μιγαδικό επίπεδο.
Στο μιγαδικό επίπεδο οι μαθητές διαπραγματεύονται την αναπαράσταση των συζυγών μιγαδικών αριθμών και διερευνούν σχέσεις που συνδέονται στενά με το μέτρο των μιγαδικών αριθμών.
Ακόμα, καθώς μπορούν να διαπραγματεύονται μιγαδικούς αριθμούς των οποίων το πραγματικό ή και το φανταστικό μέρος τους μπορεί να μεταβάλλετται, έρχονται σε επαφή με τις έννοιες του γεωμετρικού τόπου και του μετασχηματισμού αυτών.