Στην επιφάνεια εργασίας του παρακάτω μικρόκοσμου έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=α*x+β*cos(γ*x)+δ. Μπορείτε να διερευνήσετε αν έχει ρίζες και να τις προσδιορίσετε;
Επιλέξτε οι δείκτες των μεταβολέων να δείχνουν α=1, β=1, γ=1 και δ=-4. Μπορείτε να προσδιορίσετε ένα διάστημα στο οποίο να ανήκει μια ρίζα της συνάρτησης;
Μπορείτε να εκφράσετε και να εξηγήσετε αλγεβρικά την ύπαρξη της ρίζας καθώς και μια διαδικασία προσέγγισης αυτής;
Μπορείτε να προσδιορίσετε τους συντελεστές της συνάρτησης ώστε αυτή να έχει ακριβώς δυο ρίζες στο διάστημα [π,2π];
Μπορείτε να ορίσετε τις τιμές των συντελεστών της συνάρτησης ώστε αυτή στο διάστημα [π,2π] να περιέχει ακριβώς πέντε ρίζες; Μπορείτε να τις προσδιορίσετε με μια ικανοποιητική προσέγγιση; Μπορείτε να εξηγήσετε ποιός συντελεστής της εξίσωσης ευθύνεται για το πλήθος των ριζών σε ένα διάστημα;
Επιλέξτε δ=0 και β=5. Μπορείτε να ορίσετε τις τιμές των άλλων συντελεστών της συνάρτησης ώστε αυτή στο διάστημα [-π, π] να περιέχει ακριβώς δέκα ρίζες; Μπορείτε να τις προσδιορίσετε με μια ικανοποιητική προσέγγιση; Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί οι δυο συντελεστές α και γ της συνάρτησης ευθύνονται για το πλήθος των ριζών της σε ένα διάστημα;
Συζητήστε στη τάξη για τον τρόπο προσδιορισμού των ριζών μιας συνάρτησης, καθώς και για τις προϋποθέσεις να έχει μια συνάρτηση ρίζα σε ένα διάστημα.
Εκφράστε ένα γενικό κανόνα για τον τρόπο ορισμού των διαστημάτων στα οποία η συνάρτηση έχει ρίζα.
Εξηγήστε κάθε περίπτωση που ερευνήσατε αλγεβρικά.