- Άθροισμα γωνιών τριγώνου. Ο διδάσκων αρχικά επισημαίνει ότι μία από τις περισσότερο γνωστές σχέσεις στην γεωμετρία είναι και αυτή που συνδέει τις τρεις γωνίες ενός τριγώνου.
Στην συνέχεια ζητά από τους μαθητές να φανταστούν ότι η γωνία Α ενός τριγώνου ΑΒΓ συνεχώς πλησιάζει προς την βάση ΒΓ. Τότε προφανώς από τις τρεις γωνίες η Α πλησιάζει να γίνει 180° ενώ οι άλλες μικραίνουν συνεχώς και τα μέτρα τους πλησιάζουν στο 0.
Αυτό ακριβώς το σχήμα μπορεί να υλοποιηθεί με δυναμικό τρόπο με την βοήθεια του λογισμικού. - Το κέντρο βάρους τριγώνου. Το κέντρο βάρος ενός τριγώνου θα προκύψει ως το σημείο τομής των τριών διαμέσων ενός δυναμικού τριγώνου.
Οι μετρήσεις, που επιτρέπει το λογισμικό να γίνουν, υποδεικνύουν την σχέση μεταξύ των τμημάτων στα οποία το κέντρο βάρους χωρίζει μία διάμεσο.
Με βάση αυτήν την σχέση και με την χρήση του θεωρήματος του Θαλή μπορούμε να εντοπίσουμε το κέντρο βάρους ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας μία μόνο διάμεσο.
Προφανώς οι μαθητές θα πρέπει να ανακαλέσουν το θεώρημα του Θαλή που έχουν διδαχτεί στο Γυμνάσιο. - Εφαπτομένη κύκλου. Με την δραστηριότητα αυτή οι μαθητές θα χειριστούν μία γεωμετρική, δυναμική κατασκευή η οποία θα τους επιτρέψει να συνδέσουν, και κατά κάποιον τρόπο να συνοψίσουν, τις ιδιότητες που αφορούν στο σύστημα των εφαπτόμενων τμημάτων σε έναν κύκλο και των γωνιών που δημιουργούνται.
- Ισότητα-ομοιότητα τριγώνων. Η βασική ιδέα της δραστηριότητας στηρίζεται στην αντίληψη ότι η ισότητα και η ομοιότητα των τριγώνων προκύπτουν μέσα από κοινούς γεωμετρικούς μετασχηματισμούς της μεταφοράς, της περιστροφής και της διαστολής (dilate).
Συγκεκριμένα η δημιουργία δύο ομοίων (μη ίσων) τριγώνων μπορεί να γίνει με έναν συντελεστή διαστολής μικρότερο ή μεγαλύτερο της μονάδας. Η μεταφορά και η περιστροφή είναι ισομετρίες και επομένως δεν καταργούν την αρχική σχέση ομοιότητας των δύο τριγώνων.
Η ισότητα δύο τριγώνων μπορεί να προσδιοριστεί ως διαστολή με συντελεστή 1 και έτσι προκύπτουν κριτήρια ισότητας των τριγώνων. - Η σκάλα. Η βασική ιδέα της δραστηριότητας είναι η προσομοίωση της κίνησης μιας σκάλας καθώς ολισθαίνει προς το έδαφος. Το ζητούμενο είναι η τροχιά που θα διαγράψει ένας άνθρωπος που βρίσκεται στο μεσαίο σκαλί. Το γεωμετρικό μοντέλο της πραγματικής αυτής κατάστασης ανάγεται σε ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου μεταβάλλονται οι κάθετες πλευρές χωρίς να μεταβάλλεται το μήκος της υποτείνουσας. Η αντίστοιχη γεωμετρική πρόταση που οδηγεί στην λύση του προβλήματος είναι αυτή που αναφέρεται στην σχέση της διαμέσου ενός ορθογωνίου τριγώνου, που αντιστοιχεί στην διάμεσο, και της υποτείνουσας.
Προφανώς όταν η υποτείνουσα παραμένει σταθερή το ίδιο συμβαίνει και με την διάμεσο άρα η απόσταση του μέσου της υποτείνουσας από την κορυφή της ορθής γωνίας παραμένει σταθερή και επομένως το μέσον της υποτείνουσας γράφει τμήμα κύκλου.
Η σχεδίαση της προσομοίωσης στηρίζεται στην προβολή δύο θεμάτων. Το ένα χαρακτηρίζεται ως πραγματική κατάσταση και περιλαμβάνει μία σκάλα με 11 σκαλοπάτια. Στο 6ο σκαλοπάτι βρίσκεται ένας άνθρωπος ενώ η σκάλα ολισθαίνει πάνω ή κάτω αν σύρουμε το σημείο Σ.
Το δεύτερο θέμα αφορά στο γεωμετρικό μοντέλο της πραγματικής κατάστασης, δηλαδή σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο μεταβάλλονται οι δύο κάθετες πλευρές, αν σύρουμε την κορυφή Γ, ενώ το μήκος της υποτείνουσας παραμένει σταθερό. Τέλος προβάλλεται το μήκος της διαμέσου του τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. - Το τραπέζιο. Η βασική ιδέα της δραστηριότητας ανάγεται στην χρήση της κεντρικής συμμετρίας για την απόδειξη της σχέσης που συνδέει την διάμεσο ενός τραπεζίου με τις βάσεις του.
Στην περίπτωση που η κατασκευή μας επιτρέπει να μηδενίσουμε την μια από τις δύο βάσεις του τραπεζίου τότε η προηγούμενη σχέση αναφέρεται στο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου. - Το εγγράψιμο τετράπλευρο. Η βασική ιδέα της δραστηριότητας του εγγράψιμου τετραπλεύρου στηρίζεται στις δυνατότητες του λογισμικού να κατασκευάζει κύκλο από τρία σημεία, μεσοκάθετες τμημάτων και να παρουσιάζει μετρήσεις γωνιών. Οι δυνατότητες αυτές επιτρέπουν στον μαθητή να ελέγξει αν ένα δοσμένο τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Ο έλεγχος επομένως για το αν ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο μπορεί να πραγματοποιηθεί με πολλούς τρόπους μερικοί από τους οποίους δεν μπορούν να υλοποιηθούν με τα συμβατικά μέσα (μολύβι και χαρτί).
- Τα κέντρα τού τριγώνου. Η βασική ιδέα της δραστηριότητας αναφέρεται στην διερεύνηση της θέσης των τεσσάρων βασικών κέντρων ενός τριγώνου. Συγκεκριμένα όταν εμφανίζονται και τα τέσσερα κέντρα, χωρίς καμία άλλη ένδειξη για το ποιο είναι το κάθε ένα από αυτά, τότε απαιτείται διερεύνηση για την διάκριση μεταξύ τους, για τον εντοπισμό του ορθόκεντρου, του βαρύκεντρου, του έκκεντρου και του περίκεντρου.
Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουν κατασκευαστεί τα τέσσερα κέντρα του τριγώνου (περίκεντρο, έκκεντρο, βαρύκεντρο και ορθόκεντρο). Στην συνέχεια έγινε απόκρυψη των τμημάτων (ύψη, διχοτόμοι, μεσοκάθετοι, διάμεσοι). Ο στόχος είναι να εντοπίσουν οι μαθητές τα κέντρα μεταβάλλοντας το σχήμα του τριγώνου, σύροντας τις κορυφές του, να εντοπίσουμε ποιο σημείο αντιστοιχεί σε κάθε κέντρο. - Προσομοίωση μπιλιάρδου. Η βασική ιδέα της δραστηριότητας στηρίζεται στην προσομοίωση της πορείας μιας μπάλας μπιλιάρδου όταν αυτή ανακλάται στα τοιχώματα του τραπεζιού.
Το γεωμετρικό περιεχόμενο της δραστηριότητας ανάγεται στην παραλληλία των ευθειών ενώ η δραστηριότητα αποτελεί επέκταση ενός προβλήματος του σχολικού βιβλίου. - Γεωμετρικός τόπος. Η βασική ιδέα της δραστηριότητας στηρίζεται στην αντιστροφή του προβλήματος της εύρεσης ενός γεωμετρικού τόπου. Συγκεκριμένα στα συνήθη προβλήματα γεωμετρικών τόπων ζητείται από τους μαθητές να δημιουργήσουν σταδιακά μία κατασκευή με βάση ένα ελεύθερο σημείο πάνω σε ένα γεωμετρικό σχήμα-φορέα. Η κατασκευή αυτή οδηγεί στην δημιουργία ενός νέου σημείου και ζητείται η καμπύλη πάνω στην οποία θα κινηθεί αυτό όταν το αρχικό κινηθεί πάνω στον φορέα του.
Στην συγκεκριμένη δραστηριότητα θα δοθεί μία έτοιμη κατασκευή στους μαθητές, οι οποίοι θα μελετήσουν την δομή της, θα εντοπίσουν τον γεωμετρικό τόπο ενός σημείου μέσα στην κατασκευή και τέλος θα διατυπώσουν την όλη κατάσταση υπό μορφή προβλήματος. Σε δεύτερη φάση οι μαθητές θα διερευνήσουν τον τρόπο που μετασχηματίζεται ο γεωμετρικός τόπος όταν μετασχηματίζεται η δομή της κατασκευής.