Στην επιφάνεια εργασίας του παρακάτω μικρόκοσμου έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=α*x^2+β*x+γ. Ακόμα έχουν σχεδιαστεί η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος αυτής. Ερευνήστε την κυρτότητα της συνάρτησης και συνδέστε την με τον τρόπο μεταβολής των δυο παραγώγων.
Μπορείτε να περιγράψετε την κυρτότητα της συνάρτησης και να την συνδυάσετε με τη θέση της εφαπτομένης της στο Α καθώς μεταβάλλετε τη θέση του; Μπορείτε να περιγράψετε την μονοτονία της πρώτης παραγώγου και το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου σε σχέση με τη σχετική θέση της εφαπτομένης της συνάρτησης στο Α;
Επιλέξτε την συνάρτησης και με δεξί κλικ "Επαναπροσδιορισμός". Στη συνέχεια πληκτρολογήστε νέες τιμές των συντελεστών της συνάρτησης ώστε η δεύτερη παράγωγος έχει αρνητικές τιμές. Τι αλλάζει στη μορφή της συνάρτησης, της πρώτης παραγώγου καθώς και της σχετικής θέσης της εφαπτομένης της συνάρτησης στο Α;
Μπορείτε να διατυπώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας;
Επιλέξτε την συνάρτησης και με δεξί κλικ "Επαναπροσδιορισμός". Στη συνέχεια πληκτρολογήστε την συνάρτηση 0.2*x^3-2*x-1. Μπορείτε να περιγράψετε την κυρτότητα της συνάρτησης και να την συνδυάσετε με την σχετική θέση της εφαπτομένης στο Α, την μονοτονία της πρώτης παραγώγου και το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου; Υπάρχουν θέσεις των Α και Β όπου οι εφαπτόμενες σ' αυτά είναι παράλληλες; Τι συμβαίνει με τα σημεία στα οποία η πρώτη παράγωγος είναι 0;
Πώς μεταβάλλεται η κυρτότητα της συνάρτησης όταν μεταβάλλετε τις τιμές των συντελεστών της συνάρτησης; Πώς συνδέονται οι αλλαγές στην κυρτότητα με τις αλλαγές στο πρόσημο της δεύτερης παράγωγου. Τι αλλάζει στη μορφή της συνάρτησης και της πρώτης παραγώγου κατά τις αλλαγές αυτές;
Μπορείτε να διατυπώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας;
Επιλέξτε την εντολή "Επαναπροσδιορισμός" και πληκτρολογήστε τον τύπο f(x)=-0.1*x^4-0.2*x+1.
Μπορείτε να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται η κυρτότητα της καμπύλης και να βρείτε αν υπάρχουν σημεία στα οποία αυτή αλλάζει; Υπάρχουν σημεία στα οποία η πρώτη παράγωγος είναι 0;
Μπορείτε να εξηγήσετε και αλγεβρικά τις απαντήσεις σας αφού πρώτα προσδιορίσετε την εξίσωση της παραγώγου.
Επιλέξτε την εντολή "Επαναπροσδιορισμός" και πληκτρολογήστε τον τύπο f(x)=0.3*x^4+x^3-2*x. Κάντε δεξί κλικ πάνω στο γράφημα της συνάρτησης f(x) και απενεργοποιήστε την εντολή "Δείξε το αντικείμενο". Μπορείτε να περιγράψετε σε ποια διαστήματα στρέφει τα κοίλα πάνω ή κάτω και ποια σημεία είναι σημεία καμπής; Μπορείτε να περιγράψετε τι αλλάζει ως προς τα κοίλα όταν μεταβάλλετε την τιμή του α σε -0.3;