Στην επιφάνεια εργασίας του παρακάτω μικρόκοσμου έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=α*sqrt(abs(x))+β*x+γ, δυο σημεία της Α και Β, η εφαπτομένη της καμπύλης στο Α καθώς και η ευθεία ΑΒ. To σημείο Β έχει οριστεί να έχει συντεταγμένες (xA+h, f(xΑ+h)). Μπορείτε να ερευνήσετε για τον τρόπο μεταβολής του λόγου [f(xΑ+h)-f(xA)]/h καθώς το h πλησιάζει το 0 και να τον συσχετίσετε με την κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο Α; Τι συμβαίνει στις κορυφές της καμπύλης;
Επιλέξτε οι δείκτες των μεταβολέων να δείχνουν α=2, β=0, γ=-1 και ν=3. Μπορείτε να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται ο λόγος μεταβολής [f(x
Α+h)-f(x
A)]/h, καθώς το h πλησιάζει στο 0, όταν το σημείο Α είναι στη θέση (1,-1);
Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά την μεταβολή αυτή και να προσδιορίσετε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α; Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί δεν υπάρχει εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείo Α(1,-1);
Επιλέξτε οι δείκτες των μεταβολέων να δείχνουν α=2, β=2, γ=-1 και ν=4. Μπορείτε να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται ο λόγος μεταβολής [f(x
Α+h)-f(x
A)]/h καθώς το h πλησιάζει στο σημείο Α;
Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά την μεταβολή αυτή και να προσδιορίσετε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α; Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί δεν υπάρχει εφαπτομένη της καμπυλης στις κορυφές (1,1) και (-1,-3);
Επιλέξτε οι δείκτες των μεταβολέων να δείχνουν α=2, β=0, γ=-1 και ν=-1. Μπορείτε να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται ο λόγος μεταβολής [f(x
Α+h)-f(x
A)]/h καθώς το h πλησιάζει στο σημείο Α;
Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά την μεταβολή αυτή και να προσδιορίσετε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α; Μπορείτε να περιγράψετε και να εξηγήσετε τι συμβαίνει με την εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο Α όταν η τετμημένη του πλησιάζει στο 0;
Επαναλάβατε τις προηγούμενες διερευνήσεις και για άλλες τιμές των παραμέτρων. Μπορείτε να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται ο λόγος μεταβολής [f(x
Α+h)-f(x
A)]/h καθώς το h πλησιάζει το 0 όταν το σημείο βρίσκεται σε μια τυχαία θέση;