Στην επιφάνεια εργασίας του παρακάτω μικρόκοσμου έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=α*sqrt(abs(x^ν-1))+β*x+γ για ορισμένες τιμές των παραμέτρων της και του εκθέτη της δύναμης. Ακόμα έχει σχεδιαστεί η καμπύλη της παραγώγου (δηλαδή της κλίσης της εφαπτομένης). Έχει σχεδιαστεί δηλαδή η γραφική παράσταση των σημείων που έχουν τετμημένη την τετμημένη του σημείου Α και τεταγμένη την κλίση της εφαπτομένης στο σημείο Α. Ερευνήστε τον τρόπο μεταβολής της παραγώγου καθώς μεταβάλλονται οι τιμές των συντελεστών της συνάρτησης.
Η συνάρτηση έχει α=2, β=0, γ=-1 και ν=3. Μπορείτε να περιγράψετε την παράγωγο της συνάρτησης στα διάφορα σημεία της (δηλαδή την κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης στα διάφορα σημεία της);
Πότε η παράγωγος είναι θετική και πότε αρνητική; Τι συμβαίνει στην κορυφή της καμπύλης; Γιατί η γραφική παράσταση της παραγώγου έχει δυο κλάδους;
Μπορείτε να εξηγήσετε και αλγεβρικά τις απαντήσεις σας αφού πρώτα προσδιορίσετε την εξίσωση της παραγώγου; Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί δεν υπάρχει εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείo Α(1,0);
Επιλέξτε "Επαναπροσδιορισμός" και πληκτρολογήστε την νέα συνάρτηση με τιμές των παραμέτρων α=2, β=2, γ=-1 και του εκθέτη ν=3.
Τι συμβαίνει στον τρόπο μεταβολής των τιμών της συνάρτησης στα διαστήματα που η παράγωγος είναι θετική ή αρνητική; Πώς συνδέεται η μονοτονία της συνάρτησης με το πρόσημο της παραγώγου; Τι συμβαίνει στο σημείο που η παράγωγος είναι 0;
Μπορείτε να εξηγήσετε και αλγεβρικά τις απαντήσεις σας αφού πρώτα προσδιορίσετε την εξίσωση της παραγώγου;
Επιλέξτε "Επαναπροσδιορισμός" και πληκτρολογήστε την νέα συνάρτηση με τιμές των παραμέτρων α=2, β=2, γ=-1 και ν=4.
Τι συμβαίνει στον τρόπο μεταβολής των τιμών της συνάρτησης στα διαστήματα που η παράγωγος είναι θετική ή αρνητική; Πώς συνδέεται η μονοτονία της συνάρτησης με το πρόσημο της παραγώγου; Τι συμβαίνει στις κορυφές της καμπύλης; Υπάρχουν σημεία στα οποία η παράγωγος είναι 0;
Μπορείτε να εξηγήσετε και αλγεβρικά τις απαντήσεις σας αφού πρώτα προσδιορίσετε την εξίσωση της παραγώγου.
Επιλέξτε "Επαναπροσδιορισμός" και πληκτρολογήστε την νέα συνάρτηση με τιμές των παραμέτρων α=2, β=0, γ=-1 και ν=-1 και επαναλάβατε τις προηγούμενες διερευνήσεις. Πώς εξηγείται το γεγονός ότι η παράγωγος της συνάρτησης έχει τρεις κλάδους;