Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε κατασκευάσει ένα ελεύθερο σημείο Ρ πάνω στην πλευρά ΒΓ και με την βοήθεια των ευθειών (δ) και (ε) , που είναι παράλληλες προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ, έχουμε δημιουργήσει το σημείο Μ. Το σημείο Μ χωρίζει το τμήμα ΖΕ σε δύο τμήματα ΜΖ, ΜΕ που έχουν λόγο λ. Η τιμή του λ μεταβάλλεται από τον μεταβολέα λ. Στην οθόνη εμφανίζεται η παρακάτω εικόνα.
Για την τιμή λ=1 να σύρετε το σημείο Ρ. Τι γραμμή διαγράφει το σημείο Μ καθώς κινείται;
Να εμφανίσετε το ίχνος του Μ και να σύρετε το Ρ. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ; Να σύρετε το σημείο Ρ στις οριακές θέσεις Β και Γ. Να διατυπώσετε τα προηγούμενα υπό μορφή μιας γεωμετρικής πρότασης.
Να αποδείξετε με αυστηρά μαθηματικό τρόπο την πρόταση που διατυπώσατε.
Να μεταβάλετε την τιμή του λ ώστε να είναι διαφορετική του 1 και να επαναλάβετε την προηγούμενη διερεύνηση. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ σύροντας το σημείο Ρ. Τι παρατηρείτε; Να διατυπώσετε μία γεωμετρική πρόταση σε αυστηρά μαθηματική ορολογία.